计算机证明(6)

10. 计算机证明的吴方法

1977年,吴文俊院士在《中国科学》上发表论文《初等几何判定问题与机械化问题》;1984年,吴文俊出版学术专著《几何定理计算机证明的基本原理》,依照机械化观点系统地分析了各类几何体系,明确建立了各类几何的机械化定理,着重阐明几何定理机械化证明的基本原理。1985年,吴文俊的论文《关于代数方程组的零点》发表,具体讨论了多项式方程组所确定的零点集。这篇重要文献,是正式建立求解多项式方程组的吴文俊消元法的重要标志。与国际上流行的代数理论不同,明确提出了具有中国自己特色的、以多项式零点集为基本点的学术路线。自此,“吴方法”宣告诞生,为数学机械化研究揭开了新的一页。

“吴方法”的基本思想,首先借助坐标系,把定理的假设与求证部分用一些代数关系式表示出来,即“几何问题代数化”,然后再把表示代数关系的多项式做适当处理,即把终结多项式中的坐标逐个消去,当消去的结果为零时,定理也就得到了证明。

几何问题代数化是几何问题机械化的第一步,为此需要引进数系,建立坐标系,把几何命题图中的各种关系利用代数方程描述出来。在适当选取坐标系后,如果几何定理的假设条件可表示为一组代数方程[H]:f1=0,f2=0,…,fr=0,而几何定理的结论由代数方程C:g=0所刻画,这里f1,f2,…,fr和g都是变元x1,x2,…,xn的多项式,那么几何定理的机械化证明就归结为如下问题:机械化问题构造并提供一种确定的、机械的算法,使得依此算法进行有限步之后即可判定,在若干附加条件之下,结论C是否可由假设[H]推出,即是否可由f1=0,f2=0,…,fr=0推出g=0。

由此可见,实现数学定理机械化证明的关键,在于必须对表示定理假设的多项式组[H]的零点集给出构造性的描述,以便区分多项式组[H]的零点集,从而可以确定在多项式组[H]零点集的哪部分之中,能够保证多项式g=0。吴文俊消元法(吴方法)恰恰完成了这项任务。因此,吴方法是定理计算机证明原理的理论基础,定理计算机证明的机械化原理的建立是吴方法的成功运用。

吴文俊原理设数学定理的假设条件由多项式方程组[H]=0表示,定理的结论由多项式方程g=0表示。并设CS={A1,A2,….,Ak}为多项式方程组[H]的特征列。如果多项式g对[H]的特征列CS的余式R=0,则在条件Ii≠0(i=1,2,…,k)之下,可从[H]=0推出g=0。

条件Ii≠0(i=1,2,…,k),称为数学定理成立的非退化条件。这组非退化条件是在计算特征列过程中自动产生的。非退化条件这一概念的发现,是吴文俊在数学机械化证明领域的突出贡献。这一概念的引进,实现了数学定理计算机证明的决定性突破。

11. 吴方法计算机证明一例

下面,以初等几何定理“平行四边形的对角线相互平分”为例,分三步说明如何用吴方法进行几何定理的计算机证明。

第一步:几何问题代数化

几何公式①建立坐标系,选好命题诸元

建如上图所示的坐标系:取点A、B、C、D为平行四边形的四个顶点,且选点A为坐标系的原点,线AB在x轴上,E为对角线AC和BD的交点;它们的坐标分别取为A(0,0),B(u1,0),C(u2,u3),D(x1,u3),E(x2,x3),其中u1,u2,u3为自由变元,x1,x2,x3为约束变元。为保证平行四边形ABCD不退化,要求 u1≠0、u3≠0;为保证AB∥DC,点A、B的第二个坐标同为零,点C、D的第二个坐标同为u3。

②把几何命题图中的各种关系利用代数方程描述出来

由线段AB = DC,得: ƒ1= u2-u1-x1= 0;

由B,E,D三点共线,得:ƒ2 = x3(x1-u1)-u3(x2-u1)=0;

由A,E,C三点共线,得:ƒ3 = x3u2-u3x2=0;

③待证明的结论为:

待证明的结论为第二步:整序(三角化)

第三步:进行逐步除法

这里的二、三两步可用计算机完成。

大家看完这一证明后,可能感到此法比用两角夹一边证明△ABE和△CDE全等来证明“平行四边形的对角线互相平分”复杂很多。只从此一例来看,的确如此。但当从计算机证明来看问题,其意义就大不相同,而是开辟了数学定理证明的一个新方向,提供了对一大类几何问题的证明方法,前景不可限量。

ɡ
未分类